2024年什么是循环小数？解析循环小数的两种定义

一．概念描述

现代数学：循环小数的定义一般有如下两种：

①从小数点后某一位开始不断地重复出现一个或一节数字的十进制无限小数，叫作循环小数或无限循环小数：被重复的一个或一节数字称为循环节。循环小数的缩写法是将第一个循环节以后的数字全部略去，而在第一个循环节首末两位上方各添一个小点。如3.258258258……=3.258(2和8上添一个小点)。

循环小数分为两大类：混循环小数和纯循环小数。

混循坏小数：循环节不是从小数部分第一位开始的循环小数，如3. 258(5和8上添一个小点)。

纯循环小数：循环节从小数部分第一位开始的循环小数，如3.258(2和8上添一个小点)。

②公理化定义：

循环小数是无限小数的一种特殊形式。对一个无限小数0.a1a2…an。…，若能找到两个正整数s≥0，t>0，使得as+i=as+kt+i。（i=1，2，…，t;k=l，2，…）成立，则称此无限小数为循环小数，记为0.a1a2…ass+1…s+t。对于一个循环小数而言，满足上式的s,t值有无数多个，如果取其中最小的s,t值，则称as+1as+2…as+t为这个循环小数的循环节，t称为循环节的长度；若最小的s=0，则这个循环小数称为纯循环小数；如果最小的s>0，则相应的循环小数称为混循环小数，并把小数点之后至循环节之前的部分a1a2…as称为非循环节。任何一个循环小数必可化为分数。

从数学的观点看，第一个定义通俗易懂，小学数学教材的表述与其相似。第二个定义科学严谨，体现了循环小数的本质。

小学数学：2005年人教版教材五年级下册的第28页明确指出：一个数的小数部分，从某一位起，一个数字或者几个数字依次不断地重复出现，这样的小数叫作循环小数。

这与”循环小数”在现代数学中的第一个定义是基本上一致的。在小学数学教材中考虑到学生的认知，不提及十进制，而是默认为十进制无限小数。

二．概念解读

循环小数是在实际度量和生产生活中产生的。在度量和均分时，往往会出现这样的情况：

在除法中，两个数相除，如果得不到整数商，一般会有两种情况：一种得到有限小数，一种得到无限小数。在结果唯一的前提下，为了保证除法运算通行无阻，的确需要引进一种新的数，这样分数便应运而生。

循环小数其实是有理数的小数表现形式。比如三分之一、七分之二等简单的分数，在生活实际中有时又需将分数表示为小数，进而会出现循环小数。

有时根据需要可以将循环小数化为分数。这有两种情况：

一个纯循环小数的小数部分可以化成这样的分数：分子是一个循环节所表示的数；分母的各位数字全是9，9的个数等于一个循环节中数字的个数。

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